例談探索性問題的求解策略-數(shù)學(xué)教學(xué)論文

上世紀(jì)70年代，國(guó)際上一些數(shù)學(xué)教育家認(rèn)識(shí)到，傳統(tǒng)的封閉的數(shù)學(xué)問題不能適應(yīng)快速發(fā)展的經(jīng)濟(jì)社會(huì)對(duì)公民數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求，于是有利于激發(fā)學(xué)生好奇心、有利于學(xué)生積極參與、有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的探索性問題應(yīng)用而生．

探索性問題是相對(duì)于傳統(tǒng)的條件與結(jié)論都已給出的封閉性問題而言的，其主要特征是：發(fā)散性、探究性、發(fā)展性和創(chuàng)新性．探究性問題的條件不完備、結(jié)論不確定、過程發(fā)散等特性，既決定了它的條件或結(jié)論具有較大的開放性，決定了解決問題的思考方向有很大的自由度．探究性問題給考生提供了自主探索與創(chuàng)新的空間，具有訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力和促進(jìn)創(chuàng)新思維形成的良好功能．近年來(lái)，有特色、有價(jià)值的探索性數(shù)學(xué)問題已成為我國(guó)具有時(shí)代特色的數(shù)學(xué)教育改革的一個(gè)熱點(diǎn)和亮點(diǎn)，也越來(lái)越受高考命題者得青睞，本文就目前高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)范圍內(nèi)所涉及的條件探索、結(jié)論探索、存在探索、規(guī)律探索等類型探索性問題求解策略例談如下：

二．條件探索型求解策略

 這類問題的外在形式是給出結(jié)論，條件未知需探究，或條件增刪需確定，或條件正誤需判斷．

求解策略：執(zhí)果索因，先尋找結(jié)論成立的必要條件，再通過檢驗(yàn)或認(rèn)證找到結(jié)論成立的充分條件．在“執(zhí)果索因”的過程中，常常會(huì)犯的一個(gè)錯(cuò)誤是不考慮推理過程的可逆與否，誤將必要條件當(dāng)作充分條件，應(yīng)引起注意．

例1、假設(shè)每一架飛機(jī)引擎在飛行中故障率為1–p，且各引擎是否有故障是獨(dú)立的，如有至少50%的引擎能正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行，則對(duì)于多大的p而言，4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更為安全？

解析  飛機(jī)成功飛行的概率分別為  4引擎飛機(jī)為 

    2引擎飛機(jī)為  

要使4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)安全，則有 

6P²（1–P）²+4P²（1–P）+P⁴≥2P(1–P)+P²,解得P≥  

即當(dāng)引擎不出故障的概率不小于 時(shí)，4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)安全 

例2、如圖，三條直線a、b、c兩兩平行，直線a、b間的距離為p，直線b、c間的距離為 ，A、B為直線a上兩定點(diǎn)，且｜AB｜=2p，MN是在直線b上滑動(dòng)的長(zhǎng)度為2p的線段.

（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求△AMN的外心C的軌跡E；

（2）接上問，當(dāng)△AMN的外心C在E上什么位置時(shí)，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直線c的距離）.

解析：本題考查軌跡方程的求法、拋物線的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想及分析、探索問題、綜合解題的能力. 技巧與方法：本題主要運(yùn)用拋物線的性質(zhì)，尋求點(diǎn)C所在位置，然后加以論證和計(jì)算，得出正確結(jié)論，是條件探索型題目.

（1）以直線b為x軸，以過A點(diǎn)且與b直線垂直的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)△AMN的外心為C(x,y)，則有A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)，

由題意，有｜CA｜=｜CM｜

∴ ,化簡(jiǎn)，得

x²=2py

它是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，y軸為對(duì)稱軸，開口向上的拋物線．

（2）由（1）得，直線C恰為軌跡E的準(zhǔn)線.

由拋物線的定義知d=｜CF｜，其中F（0, ）是拋物線的焦點(diǎn).

∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜

由兩點(diǎn)間直線段最短知，線段BF與軌跡E的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)

直線BF的方程為 聯(lián)立方程組

得 ．即C點(diǎn)坐標(biāo)為( )，

此時(shí)d+｜BC｜的最小值為｜BF｜= ．

二、探索結(jié)論型求解策略

這類問題的基本特征是：有條件而無(wú)結(jié)論或結(jié)論的正確與否需要確定．

求解策略：先探索結(jié)論而后去論證結(jié)論。在探索過程中?？上葟奶厥馇樾稳胧郑ㄟ^觀察、分析、歸納、判斷來(lái)作一番猜測(cè)，得出結(jié)論，再就一般情形去認(rèn)證結(jié)論．

例3、設(shè) 是公比為 的等比數(shù)列， ，令 ，若數(shù)列 有連續(xù)四項(xiàng)在集合 中，則 =        . 學(xué)科網(wǎng)

解析：考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力。等比數(shù)列的通項(xiàng)．

有連續(xù)四項(xiàng)在集合 ，四項(xiàng) 成等比數(shù)列，公比為 ， = -9

例4、已知數(shù)列 滿足： （m為正整數(shù)）， 若 ，則m所有可能的取值為__________．

解析：（1）若 為偶數(shù)，則 為偶, 故

①當(dāng) 仍為偶數(shù)時(shí)，   故

②當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)， ，故 得m=4。

（2）若 為奇數(shù)，則 為偶數(shù)，故 必為偶數(shù)

，所以 =1可得m=5

三．存在判斷型求解策略

這類問題是在正確的題設(shè)條件下判斷某一數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在或某一結(jié)論是否成立．

求解策略：先假設(shè)需要探究的對(duì)象存在，以題設(shè)條件和這種假設(shè)為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行數(shù)式運(yùn)算或邏輯推理，由此推出矛盾，則否定存在；若果不出現(xiàn)矛盾，則肯定存在，給出證明．有時(shí)也需要區(qū)別不同的情形加以分類討論．

例5、已知二次函數(shù) ，若 的定義域?yàn)?時(shí)，值域也是 ，符合上述條件的函數(shù) 是否存在？若存在，求出 的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

解析：本題是考察二次函數(shù)的圖像，單調(diào)性及值域，以及分類討論的能力，尤其是涉及到得“動(dòng)軸定區(qū)間”問題要求能熟練掌握．

假設(shè)符合條件 存在，∵ 函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程是 且 ，∴

①當(dāng) ，即 時(shí)，函數(shù)在 處取最小值 ，

則 ，即 ，解得： 或 （舍去）

②當(dāng) ，即 時(shí)，

則 ，解得： （舍去）或 （舍去）

②當(dāng) ，即 時(shí)，函數(shù)在 上單調(diào)遞增，

則 解得：

綜上所述，符合條件的函數(shù)有兩個(gè)，是 或 ．

四．探索規(guī)律型求解策略

這類問題的基本特征是給出若干具體的數(shù)、式、函數(shù)等，概括出一般性規(guī)律，對(duì)材料的加工提煉和運(yùn)用，對(duì)規(guī)律歸納和發(fā)現(xiàn)能反映出一個(gè)人的應(yīng)用數(shù)學(xué)、發(fā)展數(shù)學(xué)和進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)新的意識(shí)和能力，這類題目意在檢測(cè)解題者駕馭數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)和才能．

求解策略：要求通過觀察、歸納、類比、分析等思維方法，從特殊的情況出發(fā)，經(jīng)過周密的思考，全面的分析，去推得一般的結(jié)論，然后再給出嚴(yán)格的證明．

例6、我們知道，在 中，若三邊長(zhǎng) ，滿足 ，則 是直角三角形．現(xiàn)在請(qǐng)你研究： ，則三角形為何種三角形？請(qǐng)給出你的證明．

解析：先舉特例，如 等，再找一般規(guī)律，而后加以證明．

先取一些特殊值試探一下，不妨令 ，則 ，畫出 ， ， 為邊得三角形，易發(fā)現(xiàn) 是銳角三角形．上述用賦值法試驗(yàn)的結(jié)論是否具有一般性，回答是肯定的，請(qǐng)看下面的證明過程：

∵   ∴  且 ，要證明 是銳角三角形，只需要說明 為銳角，即 ，亦即 ．

，則 在 為上減函數(shù)，當(dāng) 時(shí)， ，即 ，從而得 ．

∴   ，故 為銳角，而 為 中最大的角，

∴  一定是銳角三角形．者說明我們的猜想的結(jié)論是正確的．