例談探索性問題的求解策略-數(shù)學(xué)教學(xué)論文
上世紀(jì)70年代,國(guó)際上一些數(shù)學(xué)教育家認(rèn)識(shí)到,傳統(tǒng)的封閉的數(shù)學(xué)問題不能適應(yīng)快速發(fā)展的經(jīng)濟(jì)社會(huì)對(duì)公民數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求,于是有利于激發(fā)學(xué)生好奇心、有利于學(xué)生積極參與、有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的探索性問題應(yīng)用而生.
探索性問題是相對(duì)于傳統(tǒng)的條件與結(jié)論都已給出的封閉性問題而言的,其主要特征是:發(fā)散性、探究性、發(fā)展性和創(chuàng)新性.探究性問題的條件不完備、結(jié)論不確定、過程發(fā)散等特性,既決定了它的條件或結(jié)論具有較大的開放性,決定了解決問題的思考方向有很大的自由度.探究性問題給考生提供了自主探索與創(chuàng)新的空間,具有訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力和促進(jìn)創(chuàng)新思維形成的良好功能.近年來(lái),有特色、有價(jià)值的探索性數(shù)學(xué)問題已成為我國(guó)具有時(shí)代特色的數(shù)學(xué)教育改革的一個(gè)熱點(diǎn)和亮點(diǎn),也越來(lái)越受高考命題者得青睞,本文就目前高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)范圍內(nèi)所涉及的條件探索、結(jié)論探索、存在探索、規(guī)律探索等類型探索性問題求解策略例談如下:
二.條件探索型求解策略
這類問題的外在形式是給出結(jié)論,條件未知需探究,或條件增刪需確定,或條件正誤需判斷.
求解策略:執(zhí)果索因,先尋找結(jié)論成立的必要條件,再通過檢驗(yàn)或認(rèn)證找到結(jié)論成立的充分條件.在“執(zhí)果索因”的過程中,常常會(huì)犯的一個(gè)錯(cuò)誤是不考慮推理過程的可逆與否,誤將必要條件當(dāng)作充分條件,應(yīng)引起注意.
例1、假設(shè)每一架飛機(jī)引擎在飛行中故障率為1–p,且各引擎是否有故障是獨(dú)立的,如有至少50%的引擎能正常運(yùn)行,飛機(jī)就可成功飛行,則對(duì)于多大的p而言,4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更為安全?
解析 飛機(jī)成功飛行的概率分別為 4引擎飛機(jī)為
2引擎飛機(jī)為
要使4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)安全,則有
6P2(1–P)2+4P2(1–P)+P4≥2P(1–P)+P2,解得P≥
即當(dāng)引擎不出故障的概率不小于 時(shí),4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)安全
例2、如圖,三條直線a、b、c兩兩平行,直線a、b間的距離為p,直線b、c間的距離為 ,A、B為直線a上兩定點(diǎn),且|AB|=2p,MN是在直線b上滑動(dòng)的長(zhǎng)度為2p的線段.
(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求△AMN的外心C的軌跡E;
(2)接上問,當(dāng)△AMN的外心C在E上什么位置時(shí),d+|BC|最小,最小值是多少?(其中d是外心C到直線c的距離).
解析:本題考查軌跡方程的求法、拋物線的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想及分析、探索問題、綜合解題的能力. 技巧與方法:本題主要運(yùn)用拋物線的性質(zhì),尋求點(diǎn)C所在位置,然后加以論證和計(jì)算,得出正確結(jié)論,是條件探索型題目.
(1)以直線b為x軸,以過A點(diǎn)且與b直線垂直的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.
設(shè)△AMN的外心為C(x,y),則有A(0,p)、M(x–p,0),N(x+p,0),
由題意,有|CA|=|CM|
∴ ,化簡(jiǎn),得
x2=2py
它是以原點(diǎn)為頂點(diǎn),y軸為對(duì)稱軸,開口向上的拋物線.
(2)由(1)得,直線C恰為軌跡E的準(zhǔn)線.
由拋物線的定義知d=|CF|,其中F(0, )是拋物線的焦點(diǎn).
∴d+|BC|=|CF|+|BC|
由兩點(diǎn)間直線段最短知,線段BF與軌跡E的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)
直線BF的方程為 聯(lián)立方程組
得 .即C點(diǎn)坐標(biāo)為( ),
此時(shí)d+|BC|的最小值為|BF|= .
二、探索結(jié)論型求解策略
這類問題的基本特征是:有條件而無(wú)結(jié)論或結(jié)論的正確與否需要確定.
求解策略:先探索結(jié)論而后去論證結(jié)論。在探索過程中??上葟奶厥馇樾稳胧郑ㄟ^觀察、分析、歸納、判斷來(lái)作一番猜測(cè),得出結(jié)論,再就一般情形去認(rèn)證結(jié)論.
例3、設(shè) 是公比為 的等比數(shù)列, ,令 ,若數(shù)列 有連續(xù)四項(xiàng)在集合 中,則 = . 學(xué)科網(wǎng)
解析:考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力。等比數(shù)列的通項(xiàng).
有連續(xù)四項(xiàng)在集合 ,四項(xiàng) 成等比數(shù)列,公比為 , = -9
例4、已知數(shù)列 滿足: (m為正整數(shù)), 若 ,則m所有可能的取值為__________.
解析:(1)若 為偶數(shù),則 為偶, 故
①當(dāng) 仍為偶數(shù)時(shí), 故
②當(dāng) 為奇數(shù)時(shí), ,故 得m=4。
(2)若 為奇數(shù),則 為偶數(shù),故 必為偶數(shù)
,所以 =1可得m=5
三.存在判斷型求解策略
這類問題是在正確的題設(shè)條件下判斷某一數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在或某一結(jié)論是否成立.
求解策略:先假設(shè)需要探究的對(duì)象存在,以題設(shè)條件和這種假設(shè)為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行數(shù)式運(yùn)算或邏輯推理,由此推出矛盾,則否定存在;若果不出現(xiàn)矛盾,則肯定存在,給出證明.有時(shí)也需要區(qū)別不同的情形加以分類討論.
例5、已知二次函數(shù) ,若 的定義域?yàn)?時(shí),值域也是 ,符合上述條件的函數(shù) 是否存在?若存在,求出 的表達(dá)式;若不存在,請(qǐng)說明理由.
解析:本題是考察二次函數(shù)的圖像,單調(diào)性及值域,以及分類討論的能力,尤其是涉及到得“動(dòng)軸定區(qū)間”問題要求能熟練掌握.
假設(shè)符合條件 存在,∵ 函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程是 且 ,∴
①當(dāng) ,即 時(shí),函數(shù)在 處取最小值 ,
則 ,即 ,解得: 或 (舍去)
②當(dāng) ,即 時(shí),
則 ,解得: (舍去)或 (舍去)
②當(dāng) ,即 時(shí),函數(shù)在 上單調(diào)遞增,
則 解得:
綜上所述,符合條件的函數(shù)有兩個(gè),是 或 .
四.探索規(guī)律型求解策略
這類問題的基本特征是給出若干具體的數(shù)、式、函數(shù)等,概括出一般性規(guī)律,對(duì)材料的加工提煉和運(yùn)用,對(duì)規(guī)律歸納和發(fā)現(xiàn)能反映出一個(gè)人的應(yīng)用數(shù)學(xué)、發(fā)展數(shù)學(xué)和進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)新的意識(shí)和能力,這類題目意在檢測(cè)解題者駕馭數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)和才能.
求解策略:要求通過觀察、歸納、類比、分析等思維方法,從特殊的情況出發(fā),經(jīng)過周密的思考,全面的分析,去推得一般的結(jié)論,然后再給出嚴(yán)格的證明.
例6、我們知道,在 中,若三邊長(zhǎng) ,滿足 ,則 是直角三角形.現(xiàn)在請(qǐng)你研究: ,則三角形為何種三角形?請(qǐng)給出你的證明.
解析:先舉特例,如 等,再找一般規(guī)律,而后加以證明.
先取一些特殊值試探一下,不妨令 ,則 ,畫出 , , 為邊得三角形,易發(fā)現(xiàn) 是銳角三角形.上述用賦值法試驗(yàn)的結(jié)論是否具有一般性,回答是肯定的,請(qǐng)看下面的證明過程:
∵ ∴ 且 ,要證明 是銳角三角形,只需要說明 為銳角,即 ,亦即 .
,則 在 為上減函數(shù),當(dāng) 時(shí), ,即 ,從而得 .
∴ ,故 為銳角,而 為 中最大的角,
∴ 一定是銳角三角形.者說明我們的猜想的結(jié)論是正確的.
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