高等職業(yè)院校文科數(shù)學(xué)教育的探討Ⅱ

 函數(shù)是實(shí)數(shù)集合與實(shí)數(shù)集合的關(guān)系，一種特殊的關(guān)系.函數(shù)對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)x的像f（x）也是一個(gè)實(shí)數(shù)，而且是唯一的，這樣對(duì)函數(shù)我們同樣可以進(jìn)行加減乘除，代替字母的數(shù)可以看作是在實(shí)數(shù)集合或其一部分上的一個(gè)變量，當(dāng)然了，特殊點(diǎn)仍然要除外.當(dāng)我們考察數(shù)的運(yùn)算及變量間的關(guān)系時(shí)，發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)集合間的函數(shù)關(guān)系，可以用初等運(yùn)算表示出來(lái)的只有常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)幾種，我們稱這幾種函數(shù)為基本初等函數(shù)，其中的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與反三角函數(shù)是兩對(duì)關(guān)系與反關(guān)系.基本函數(shù)關(guān)系還有更深的含義，如指數(shù)函數(shù)是實(shí)數(shù)集合和正實(shí)數(shù)集合間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；三角函數(shù)刻畫了周期運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)；三角函數(shù)中的反正切函數(shù)則把無(wú)界的實(shí)數(shù)壓縮到了有界的實(shí)數(shù)區(qū)間，即用更宏觀的觀點(diǎn)看待基本初等函數(shù)，可以看到更有用的結(jié)果.用關(guān)系看實(shí)數(shù)集合同樣可以得到一些更有用的結(jié)果，數(shù)學(xué)前輩們用實(shí)數(shù)集合上的運(yùn)算特征去觀察更一般的元素集合，可以清楚地了解具有運(yùn)算特征的群、環(huán)、域.如果用一一對(duì)應(yīng)的連續(xù)映射去看兩個(gè)集合，可以對(duì)元素構(gòu)成的集合進(jìn)行拓?fù)浞诸惲?實(shí)數(shù)集合給出了一種典范，在這個(gè)集合上，可以定義加減乘除代數(shù)運(yùn)算及極限運(yùn)算，運(yùn)算的結(jié)果還是實(shí)數(shù)，所以我們說(shuō)實(shí)數(shù)集合是完備的.實(shí)數(shù)集合上的每個(gè)數(shù)或者是分?jǐn)?shù)或者可以用一個(gè)分?jǐn)?shù)無(wú)限靠近（近似），所以我們說(shuō)實(shí)數(shù)集合是可分的.實(shí)數(shù)集合上的每個(gè)數(shù)都可以用一個(gè)比它大的數(shù)及一個(gè)比它小的數(shù)來(lái)限制，所以我們說(shuō)實(shí)數(shù)是局部緊的.實(shí)數(shù)集合上還有一個(gè)很好的序結(jié)構(gòu).在實(shí)數(shù)集合上獲得的很多結(jié)果，可以推廣到一些跟實(shí)數(shù)集合具有同樣特征的集合上.
可以看到實(shí)數(shù)集合上的幾個(gè)變量（基本初等函數(shù)）在認(rèn)識(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)集合再到元素構(gòu)成的集合過(guò)程中起到了重要的作用，現(xiàn)代數(shù)學(xué)是建立在集合論的基礎(chǔ)上的.數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)就是從基本初等函數(shù)（一元函數(shù)）開始的，基本初等函數(shù)可以看作是實(shí)數(shù)域上的幾個(gè)基本變量，在此基礎(chǔ)上利用變量的數(shù)學(xué)運(yùn)算（代數(shù)與非代數(shù)）可以構(gòu)造出很大一類實(shí)數(shù)域上的變量（初等函數(shù)類），這幾個(gè)變量也構(gòu)成了已知的函數(shù)關(guān)系的基本類型.一元微積分是學(xué)習(xí)處理這類變量的基本方法極限及微積分法.極限是數(shù)學(xué)最基本的工具，認(rèn)識(shí)無(wú)窮和無(wú)限沒(méi)有極限這個(gè)工具我們會(huì)寸步難行，對(duì)極限的理解僅具備初等數(shù)學(xué)的知識(shí)是困難的，有了極限的知識(shí)反過(guò)來(lái)可以看到中學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容就不難了.極限的數(shù)學(xué)刻畫（即ε～N定義，ε～δ定義）是理解數(shù)學(xué)基本思想的基礎(chǔ)，極限的兩個(gè)特例無(wú)窮大量和無(wú)窮小量是理解極限的最好實(shí)例，如無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系是反比例關(guān)系，利用極限的定義，才可以將這個(gè)關(guān)系理解和刻畫清楚.極限是刻畫變量變化趨勢(shì)的工具，當(dāng)一個(gè)變量在變化過(guò)程中有趨勢(shì)時(shí)，稱之為極限.利用極限這個(gè)工具，我們可以對(duì)我們未知的無(wú)理數(shù)進(jìn)行估計(jì)，對(duì)變量的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行數(shù)學(xué)刻畫，解決有限與無(wú)限這對(duì)矛盾.變量的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)分為有趨勢(shì)和無(wú)趨勢(shì)兩種，只有當(dāng)變量運(yùn)動(dòng)有趨勢(shì)時(shí)，我們才可以進(jìn)一步處理變量的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)；變量運(yùn)動(dòng)的無(wú)趨勢(shì)比較復(fù)雜，我們處理它的辦法還不多.微積分是一個(gè)函數(shù)的兩種特殊極限形式，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的差商的極限函數(shù)；微分用極限的觀點(diǎn)來(lái)看，就是在一點(diǎn)函數(shù)的變化與自變量變化是正比例的關(guān)系，滿足這個(gè)條件的函數(shù)成為可微的（即局部可以微小化）；積分可以看作是一個(gè)區(qū)間上某個(gè)函數(shù)微分的和，這個(gè)和就復(fù)雜了，不是有限和，也不是簡(jiǎn)單的無(wú)限和，理解這個(gè)和需要學(xué)習(xí)無(wú)窮級(jí)數(shù).
利用函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)（可微）、可積等特性，可以將函數(shù)進(jìn)行分類，形成由函數(shù)構(gòu)成的集合.實(shí)數(shù)上所有連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)類成為連續(xù)函數(shù)類；所有可導(dǎo)函數(shù)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)類，也稱為光滑函數(shù)類；所有可積的函數(shù)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)類.初等函數(shù)屬于這三個(gè)類別.常用的函數(shù)既是連續(xù)的（分段連續(xù)），又是可導(dǎo)和可積的.有沒(méi)有處處不連續(xù)的函數(shù)，實(shí)際上我們找一個(gè)處處連續(xù)但是處處不可導(dǎo)（不光滑）的函數(shù)都很難.
數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)建模
數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程往往很枯燥，從概念到概念，從定理到定理，從公式到公式，學(xué)生總會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)，學(xué)數(shù)學(xué)到底有什么用？實(shí)際上數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)客觀實(shí)際是理性和抽象的，數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)客觀現(xiàn)實(shí)的過(guò)程本身就是創(chuàng)新，我們所觀察到的數(shù)都是有單位的，科學(xué)實(shí)驗(yàn)是利用實(shí)驗(yàn)的方法觀察一個(gè)因素（變量）的發(fā)展變化會(huì)不會(huì)引起另一個(gè)因素的變化.當(dāng)我們抽象出數(shù)學(xué)公式時(shí)，我們處理的問(wèn)題就抽象了，數(shù)學(xué)處理的數(shù)是沒(méi)有單位的數(shù)，建立的模型也是適合于各種變量的模型，如線性模型是一種簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，在解析幾何上，平面上的直線是線性模型的幾何直觀，但在社會(huì)實(shí)踐問(wèn)題中線性模型具有一定的普遍性，在簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)分析中的供給與價(jià)格的關(guān)系.需求與價(jià)格的關(guān)系都可以用線性模型來(lái)模擬，而且可以建立供給與需求的均衡模式，這種均衡在經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理科學(xué)中應(yīng)用很廣.
數(shù)學(xué)知識(shí)在建模的過(guò)程中也是隨著認(rèn)識(shí)的不斷深入而不斷加深的.在經(jīng)濟(jì)學(xué)里，當(dāng)我們考慮需求時(shí)，可以大致將需求分為兩大類.總需求和個(gè)人需求.我們來(lái)看個(gè)人需求，當(dāng)我們簡(jiǎn)化問(wèn)題時(shí)，我們可以限制個(gè)人的需求為一種商品（當(dāng)然是不對(duì)的，這樣假設(shè)可以讓我們理清思路），那么個(gè)人的需求除了技術(shù)方面的原因以外，可以看作受三個(gè)變量的影響，一個(gè)是個(gè)人的可支配收入，一個(gè)是個(gè)人需要商品的數(shù)量，第三個(gè)是這個(gè)商品的價(jià)格.為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們假設(shè)商品的價(jià)格不變（是一個(gè)常量），可支配收入決定了個(gè)人可能消費(fèi)的最大數(shù)量，假設(shè)個(gè)人的可支配收入全部用于消費(fèi)，那么我們就可以建立一個(gè)個(gè)人可支配收入與商品消費(fèi)數(shù)量間的線性模型；如果個(gè)人不全部消費(fèi)，那么這個(gè)人的消費(fèi)可以用平面上的一個(gè)集合來(lái)表示了.我們把假設(shè)放寬，假設(shè)個(gè)人不是只消費(fèi)一種商品，而且我們假設(shè)價(jià)格不變，那么我們建立的模型就是一個(gè)多元線性模型，每個(gè)人的消費(fèi)集也變成了空間中的一個(gè)凸集.可見(jiàn)隨著限制條件的減少，數(shù)學(xué)模型將會(huì)復(fù)雜，也就是說(shuō)，需要的數(shù)學(xué)知識(shí)不斷增加.
社會(huì)科學(xué)中所面對(duì)的對(duì)象的數(shù)據(jù)具有離散性的特點(diǎn)，即客觀現(xiàn)實(shí)的數(shù)據(jù)是通過(guò)觀察得到的，而不是像大多數(shù)自然科學(xué)的數(shù)據(jù)是通過(guò)測(cè)量得到的，這就決定了在社會(huì)科學(xué)中處理的數(shù)據(jù)大多具有離散性的特點(diǎn)（由于人類認(rèn)識(shí)的限制，我們觀察和測(cè)量的數(shù)據(jù)都具有離散性），所以在處理數(shù)據(jù)時(shí)，我們需要將離散的數(shù)據(jù)連續(xù)化，例如需求函數(shù)，它的取值為在不同價(jià)格水平上的商品的需求量（變量的值），制成品的需求量一定是個(gè)自然數(shù)，但是為了分析和使用數(shù)學(xué)方法起見(jiàn)，我們還是把需求函數(shù)看作在正實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值的一個(gè)變量，那么處理連續(xù)和可微變量的微積分法和其他數(shù)學(xué)方法就可以使用了.數(shù)據(jù)的第二個(gè)特性是總體性和大量性，如當(dāng)我們考慮某時(shí)間某區(qū)域的價(jià)格水平時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，價(jià)格是一個(gè)總體的數(shù)量特征，而這個(gè)總體是由許多種商品所構(gòu)成，也就是說(shuō)我們所說(shuō)的價(jià)格水平是這個(gè)地區(qū)所有產(chǎn)品價(jià)格的水平的一個(gè)代表，它可能不是任何一個(gè)具體商品的價(jià)格，我們?cè)谔幚頂?shù)據(jù)時(shí)需要這個(gè)代表，這里就有一個(gè)采集和處理數(shù)據(jù)，獲取這個(gè)代表的問(wèn)題.所以在社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域大多數(shù)數(shù)據(jù)的獲得是依靠統(tǒng)計(jì)手段，這里就需要概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí).
以上談了自己對(duì)文科數(shù)學(xué)教育的一點(diǎn)看法，在教學(xué)方法上我們還可以進(jìn)一步進(jìn)行分析，本文就不再論及，我們會(huì)在進(jìn)一步的文章中分析.
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