基于量子三叉樹的量子Black—Scholes期權定價

 量子金融是量子概率應用于金融市場的研究，體現(xiàn)了期權定價[1]思想上的創(chuàng)新。目前，國內外學者在這方面已做了一定的工作。陳澤乾[2]提出二項式期權定價量子模型。E.Sega[3]用量子效應解釋在金融市場期權價格的不規(guī)則變化。Emmanuel和E.Have[4]描述了在量子系統(tǒng)中，Black-Scholes模型的具體含義。Belal.E.Baaquie[5]研究了基于量子理論的有息債券歐式期權利率模型。Liviu-Adrian Cotfas[6]借助Fourier變換和量子算符模型分析股票信息與價格的關系。本文建立了量子三叉樹模型。根據期權折現(xiàn)流在量子概率下是一個鞅過程，給出了量子概率在金融問題中的作用。同時根據Tailor公式，用量子力學過程代替經典隨機過程描述股票價格，在股票價格St遵循量子Brown運動的情形下，得到連續(xù)量子B-S模型。實例應用和Matlab仿真都證實了量子B-S的有效性。一方面簡化了期權計算，另一方面更好地揭示了金融市場的量子特征。
1 量子三叉樹模型
2 連續(xù)量子Black-Scholes模型
定理2. 量子期權平價公式
在任意一個時刻t證明：在t=0時刻，由文獻[9]可以構造兩個量子投資組合φ1=c+Ke-rT，φ2=p+S。
設Vt（φ）是投資組合φ在時刻t的財富值，考慮上面兩個量子投資組合，在t=T時刻的值
VT（φ1）=VT（c）+VT（Ke-rT）=（ST-K）++K=max{K，ST}
VT（φ2）=VT（p）+VT（S）=（K-ST）++ST=max{K，ST}
故VT（φ1）=VT（φ2），從而得到Vt（φ1）=Vt（φ2），即ct+Ke-r（T-t）=pt+St成立。
有了量子期權平價公式，由量子B-S算出看漲期權的價格，就可以得出看跌期權的價格。
4 實例應用
5 量子歐式期權敏感性[10]應用
以下是用MATLA對歐式期權敏感性做的仿真：
圖1和圖2表示期權標的物的價格波動性變動對期權價格的影響程度，數學表達式■，f為Black-Scholes期權定價公式中期權價格函數C。顏色反映靈敏度，下面是量子圖，它比上面的經典圖更能體現(xiàn)細微的波動值的變動。
6 結論
本文以量子概率的角度，利用量子力學理論建立了量子三叉樹和量子Black-Scholes模型，處理了復雜期權定價問題。實例應用和敏感性分析都證實了量子B-S模型的有效性，量子期權圖對金融市場標的物的價格細微波動變化反應更敏感，更能體現(xiàn)金融市場的量子特征。