應(yīng)急物流中成本與公平考量的博弈

應(yīng)急物流的主要目標(biāo)是在災(zāi)難發(fā)生前后拯救生命和減輕人類痛苦。國(guó)內(nèi)外的諸多學(xué)者針對(duì)有限的資源，從物流成本[1]、需求滿足率[2]以及響應(yīng)時(shí)間[3]等方面進(jìn)行了大量的研究。然而，上述研究忽略了受益人得到公平援助的權(quán)益。疫情中的武漢和上海的物資分配問(wèn)題凸顯了保障受益人權(quán)益的重要性。近年來(lái)，隨著人道主義原則的提出，越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始關(guān)注從受災(zāi)者本身出發(fā)，緩解他們的心理創(chuàng)傷，尋求一種高效且公平的應(yīng)急物資分配方案。

  目前國(guó)內(nèi)外關(guān)于衡量公平分配的函數(shù)沒(méi)有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，主流的研究采用剝奪成本[4]、最大最小函數(shù)[5]、嫉妒與同情函數(shù)[6]等構(gòu)造表示公平性的函數(shù)。例如，Holguin-Veras 提出使用社會(huì)成本，通過(guò)在物流成本上增加剝奪成本作為災(zāi)后物流模型的目標(biāo)函數(shù)。剝奪成本被定義為 “無(wú)法獲得商品或服務(wù)有關(guān)的人類痛苦的經(jīng)濟(jì)價(jià)值”。朱莉[4]構(gòu)建了一個(gè)多目標(biāo)動(dòng)態(tài)應(yīng)急物資分配模型并提出相對(duì)剝奪成本來(lái)刻畫救援的公平性。陳瑩珍[5] 通過(guò)最大化物資的運(yùn)輸量以及最小化最大運(yùn)輸時(shí)間的目標(biāo)函數(shù)來(lái)刻畫公平性。陳剛[6]構(gòu)建了以總加權(quán)嫉妒值最小為公平目標(biāo)，以總物流成本最小為效率目標(biāo)的多目標(biāo)數(shù)學(xué)優(yōu)化模型以應(yīng)對(duì)災(zāi)害初期物資分配以及路由規(guī)劃的問(wèn)題。

關(guān)于應(yīng)急物流公平性的研究中，大多數(shù)的研究都是將代表公平性的函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，一部分單獨(dú)將公平性作為唯一的目標(biāo)函數(shù)，另一部分采用多目標(biāo)規(guī)劃，公平性是其中的一個(gè)目標(biāo)函數(shù)。對(duì)于多目標(biāo)規(guī)劃，將公平性函數(shù)直接放到目標(biāo)函數(shù)中，決策者可以直觀的到公平性與成本或者其他效用目標(biāo)的均衡解。但是卻忽略了決策者對(duì)于不同目標(biāo)的偏好，換言之，決策者不能實(shí)現(xiàn)自己期望的公平水平?；诖?，我們提出了約束導(dǎo)向的公平函數(shù)，將公平性函數(shù)作為約束條件，并設(shè)置一個(gè)公平偏差變量，決策者可以根據(jù)其對(duì)公平的偏好交互的得出基于其公平偏好水平下的物資分配方案。此外，關(guān)于公平函數(shù)的選擇，大多數(shù)研究構(gòu)建的公平性函數(shù)都是線形化或者容易線形化的函數(shù)以方便尋求解決方案?？紤]到線形化的難度，關(guān)于福利經(jīng)濟(jì)學(xué)中反應(yīng)收入差距的基尼系數(shù)作為公平性函數(shù)的研究并不多。在本文中，與其他研究所不同的是，我們嘗試引入了福利經(jīng)濟(jì)學(xué)中的基尼系數(shù)作為公平性的函數(shù)的表達(dá)。最后，不同于以往的研究，我們量化了成本與公平之間的博弈，即成本投入與公平性改善之間的定量關(guān)系。這對(duì)于決策者來(lái)說(shuō)，可以直觀的感受到改善公平性所需要額外投入的成本，以方便決策者合理的做出災(zāi)后救援的決策。

1  建模準(zhǔn)備

2.1  問(wèn)題描述與研究假設(shè)

在有限資源、車輛容量以及旅行時(shí)間限制下，考慮災(zāi)害發(fā)生以后應(yīng)急物資的分配以及車輛路由的規(guī)劃問(wèn)題。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，為滿足多個(gè)受災(zāi)點(diǎn)對(duì)于應(yīng)急物資的需求，采用單批次多車輛調(diào)配策略，通過(guò)構(gòu)建兼顧公平性（滿足決策者所提出的公平水平）和效率（最小化總社會(huì)成本）的應(yīng)急物資分配模型，探究物資分配的公平性與社會(huì)總成本之間的平衡關(guān)系。

  本文重點(diǎn)關(guān)注公平改善與成本投入之間的關(guān)系，因此在單物資種類的變體VRP框架下構(gòu)建模型，所提出的假設(shè)如下：（1）受災(zāi)點(diǎn)的需求以及位置是已知的；（2）車輛規(guī)格相同，從倉(cāng)庫(kù)滿載出發(fā)，返回倉(cāng)庫(kù)時(shí)允許有未分配的多余物資；（3）如果需求未得到滿足，需求點(diǎn)的災(zāi)民會(huì)產(chǎn)生心理創(chuàng)傷并且這一創(chuàng)傷可用經(jīng)濟(jì)損失衡量；（4）各個(gè)受災(zāi)點(diǎn)僅接受單車服務(wù)，不允許多車多次服務(wù)。這一模型可以幫助我們獲得訪問(wèn)受災(zāi)點(diǎn)的順序、每個(gè)受災(zāi)點(diǎn)分配應(yīng)急物資的數(shù)量以及如此的調(diào)度方案所產(chǎn)生的社會(huì)成本以及公平水平。

1.2  符號(hào)說(shuō)明

本文采用以下參數(shù)作為模型的輸入：

（1）集合

：倉(cāng)庫(kù)  以及受災(zāi)點(diǎn)的集合，；

：受災(zāi)點(diǎn)的集合；

：網(wǎng)絡(luò)中的弧線集合；

：車輛的集合；

（2）參數(shù)

：公平偏差限制，決策者所要求達(dá)到的最低公平水平；

：極大的常量；

：車輛的容量；

：車輛的最大旅行時(shí)間；

：車輛的運(yùn)營(yíng)成本；

：車輛從  到  所產(chǎn)生的旅行成本，；

：車輛從  到  所花費(fèi)的時(shí)間，；

：需求點(diǎn)  的需求，；

：車輛服務(wù)需求點(diǎn)  的服務(wù)時(shí)間，；

：車輛  到達(dá)需求點(diǎn)  的時(shí)間，；

（3）決策變量

：車輛  遍歷弧 ，則 ，否則，，；

：車輛  訪問(wèn)需求點(diǎn) ，則 ，否則，，；

：車輛  分配給需求點(diǎn)  的應(yīng)急物資數(shù)量，；

：需求點(diǎn)  收到的應(yīng)急物資，；

：車輛  從  直接運(yùn)輸?shù)?nbsp; 的應(yīng)急物資數(shù)量，；

1.3  公平指標(biāo)與成本指標(biāo)

基尼系數(shù)是國(guó)際上用來(lái)綜合考察居民內(nèi)部收入分配差異狀況的一個(gè)重要分析指標(biāo)。當(dāng)個(gè)體收入差距大時(shí)，基尼系數(shù)就高；相反，基尼系數(shù)就低?；嵯禂?shù)是根據(jù)洛倫茨曲線，即收入分布曲線計(jì)算的，其在洛倫茲圖中被定義為描述相對(duì)財(cái)富的曲線與平等線之間的面積與該線下的三角形面積之比[7]。在本文中，我們使用一種等效的數(shù)學(xué)表示法提出的相對(duì)公平的定義，來(lái)構(gòu)建基于每個(gè)需求點(diǎn)收到應(yīng)急物資數(shù)量的基尼系數(shù)表達(dá)。對(duì)于每個(gè)需求點(diǎn)所收到的物資數(shù)量 ，基尼系數(shù)： 

它是一個(gè)介于0和1之間的數(shù)值。數(shù)值0代表完全公平，即所有個(gè)人分享相同的資源收益或損失，而數(shù)值1則代表完全不公平。

此外，我們將應(yīng)急物資分配模型產(chǎn)生的成本分為兩部分，一部分是從運(yùn)營(yíng)者角度考慮的運(yùn)營(yíng)成本，即運(yùn)輸費(fèi)用。另一部分是從受災(zāi)者角度考慮的剝奪成本，即受災(zāi)者因?yàn)樾枨笪吹玫綕M足產(chǎn)生的心理創(chuàng)傷成本。這一成本最初由Holguín-Veras所提出并廣泛的應(yīng)用到應(yīng)急物流中。鑒于模型假設(shè)僅考慮單物資，我們給出因缺乏應(yīng)急物資而導(dǎo)致受災(zāi)點(diǎn)  的創(chuàng)傷經(jīng)濟(jì)度量值：

其中， 和  是兩個(gè)常數(shù)。從剝奪成本的構(gòu)建我們可以看出，這是一個(gè)成本隨著物資數(shù)量的匱乏呈指數(shù)增長(zhǎng)的函數(shù)。

1.應(yīng)急物資分配模型

基于上述建模準(zhǔn)備，構(gòu)建如下應(yīng)急救援的物資分配模型，該模型

主要解決的決策問(wèn)題是：在容量約束、旅行時(shí)間約束以及決策者所要求的最低公平水平約束下，尋找使得運(yùn)營(yíng)方的物流成本與被援助方的剝奪成本加總最小的分配策略以及路由調(diào)度方案。

目標(biāo)函數(shù)（1）表示最小化社會(huì)總成本，其中包含車輛的運(yùn)輸費(fèi)用、車輛的發(fā)車費(fèi)用以及需求點(diǎn)的剝奪費(fèi)用，體現(xiàn)了應(yīng)急救援的社會(huì)成本最小化；約束條件（2）表示可使用的車輛不能超過(guò)倉(cāng)庫(kù)所擁有的車輛；約束條件（3）和（4）表示每輛車從倉(cāng)庫(kù)出發(fā)然后返回倉(cāng)庫(kù)并且已經(jīng)返回的車輛不能再次使用；約束條件是（5）流量平衡限制，即車輛訪問(wèn)某個(gè)需求點(diǎn)后必須離開(kāi)它；約束條件（6）表示每個(gè)需求點(diǎn)必須被訪問(wèn)并且分批交付應(yīng)急物資是不允許的；約束條件（7）表示只有車輛經(jīng)過(guò)需求點(diǎn)時(shí)，該需求點(diǎn)才會(huì)被訪問(wèn)；約束條件（8）給出了車輛訪問(wèn)需求點(diǎn)時(shí)交付給該點(diǎn)應(yīng)急物資的數(shù)量；約束條件（9）是車輛的旅行時(shí)間限制；約束條件（10）是公平偏差限制，即模型求解得到分配方案的公平指標(biāo)不能超過(guò)決策者所要求的最低公平限制，體現(xiàn)了應(yīng)急救援公平的考慮；約束條件（11）和（12）是車輛的容量限制；約束（13）是車輛到達(dá)時(shí)間的約束；約束條件（14）表示如果車輛訪問(wèn)某個(gè)需求點(diǎn)，那么必須給該需求點(diǎn)分配應(yīng)急物資，這一約束的目的是防止模型為了滿足公平偏差限制，選擇不給任何一個(gè)需求點(diǎn)分配物資；約束條件（15）表示了變量的完整性與非負(fù)性。

由于約束條件（10）是一個(gè)非線形的約束條件，為了方便求解，將其轉(zhuǎn)化為線形約束：

其中，。

2  案例分析

2.1  案例介紹

2010年4月14日，青海省玉樹(shù)藏族自治州玉樹(shù)市發(fā)生6次地震，最高震級(jí)7.1級(jí)，震源深度13公里。以玉樹(shù)地震為案例場(chǎng)景，結(jié)合真實(shí)數(shù)據(jù)以及部分仿真參數(shù)，探究災(zāi)后應(yīng)急帳篷的運(yùn)輸與分配問(wèn)題。

依據(jù)玉樹(shù)地震的災(zāi)情報(bào)告，選擇12個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)受災(zāi)點(diǎn)和災(zāi)區(qū)附近玉樹(shù)市結(jié)古鎮(zhèn)作為應(yīng)急物資集散中心。帳篷的重量為2kg/頂，需求量根據(jù)各個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)當(dāng)?shù)氐木用駭?shù)量來(lái)估計(jì)；救援車輛的數(shù)量為6輛，每輛車的載重為40噸，行駛速度為50km/h且工作時(shí)間不超過(guò)8h；車輛的運(yùn)營(yíng)成本包括運(yùn)輸成本以及發(fā)車成本，分別按照當(dāng)?shù)孛抗锏挠秃膬r(jià)格以及當(dāng)?shù)刎涇嚢l(fā)車的費(fèi)用來(lái)估計(jì)；車輛訪問(wèn)每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)受災(zāi)點(diǎn)的服務(wù)時(shí)間一致為0.5h；車輛的行駛時(shí)間是由經(jīng)緯度計(jì)算得到的距離與行駛速度的比值；關(guān)于剝奪函數(shù)的系數(shù)，分別取 ， 。

2.2  求解方法

  傳統(tǒng)的VRP問(wèn)題已經(jīng)被證明為NP-hard問(wèn)題，而我們所構(gòu)建的應(yīng)急物資分配模型是VRP問(wèn)題的變體，因此不難證明我們所要求解的模型也是NP-hard問(wèn)題。目前關(guān)于此類問(wèn)題的求解方法分為兩大類，一類是利用商業(yè)求解器，例如：CEPLEX、GUROBI等進(jìn)行求解，此類求解器適用于小規(guī)模算例。另一個(gè)求解方法是設(shè)計(jì)啟發(fā)式算法，例如；遺傳算法、蟻群算法等進(jìn)行求解，所得到的解并不是最優(yōu)解，而是一個(gè)近似最優(yōu)解，這一類求解方法適用于大規(guī)模算例。

  考慮到我們所探究的問(wèn)題重點(diǎn)是成本與公平的平衡而不是求解的速度，并且所介紹的案例屬于小規(guī)模案例。因此我們使用python調(diào)用了GUROBI求解器對(duì)上述案例進(jìn)行了求解。當(dāng)然，針對(duì)大規(guī)模問(wèn)題，我們這里也提供了啟發(fā)式算法設(shè)計(jì)的思路?？紤]一個(gè)兩階段算法，包含路由檢索階段與應(yīng)急物資分配階段。（1）路由檢索階段，可以采用合適的搜索算法，盡可能多的搜索出滿足旅行時(shí)間等限制的路由。（2）應(yīng)急物資分配階段，對(duì)于給定一個(gè)路由，我們給出滿足公平偏差限制的方案。（3）綜合考慮，對(duì)于路由檢索階段所搜索到的每一條路徑，我們采用應(yīng)急物資分配階段的方法分別得到其目標(biāo)函數(shù)值，最后找到所有路由中目標(biāo)函數(shù)值最小的路由即為近似最優(yōu)的解決方法。

2.3  敏感性分析

  在本節(jié)中，我們通過(guò)調(diào)整公平偏差限制來(lái)探究成本與公平性之間的博弈。因?yàn)榛嵯禂?shù)是一個(gè)不超過(guò)1的數(shù)值，所以公平偏差限制應(yīng)該在0-1之間。將  以0.1為步長(zhǎng)，分別設(shè)置十個(gè)不同的 ，然后對(duì)該案例在不同  下進(jìn)行求解，結(jié)果如表1所示。

表1 不同公平偏差限制下的最優(yōu)解

公平偏差限制（W） 社會(huì)成本（￥） 基尼系數(shù) 滿足公平偏差的投入成本（￥） (投入成本/社會(huì)成本)x100%

1.00 9207.33 0.68 / /

0.90 9207.33 0.68 0.00 0.00%

0.80 9207.33 0.68 0.00 0.00%

0.70 9207.33 0.68 0.00 0.00%

0.60 11103.83 0.51 1896.49 20.60%

0.50 12335.88 0.48 3128.54 33.98%

0.40 13875.61 0.36 4668.28 50.70%

0.30 15630.87 0.24 6423.54 69.77%

0.20 19479.88 0.15 10272.55 92.51%

0.10 24540.69 0.09 15333.35 124.30%

  由表1可知:（1）當(dāng)  時(shí)，此時(shí)模型等價(jià)于不考慮公平性而只對(duì)社會(huì)成本最小化，因此這是一個(gè)社會(huì)成本最小化解決方案。（2） 取值過(guò)大時(shí)，并不會(huì)使得社會(huì)成本增加，這是因?yàn)槿绻豢紤]公平性而僅僅最小化社會(huì)成本，那么也會(huì)存在一個(gè)基尼系數(shù)，如果  取值較大，僅最小化社會(huì)成本的方案也會(huì)被接受。（3）隨著決策者對(duì)應(yīng)急物資分配的公平性逐漸重視，所需要投入的額外社會(huì)成本也逐漸增加。（4） 按照步長(zhǎng)0.1逐漸減少，額外投入成本的斜率是上升的趨勢(shì)。例如：， 成本需要增加13.38%；，成本需要增加16.72%；同理，成本的增加量為19.07%、22.74%、31.79%。這說(shuō)明決策者在選擇公平偏差限制時(shí)，要考慮成本投入帶來(lái)公平性改善的性價(jià)比是否在自己的心理預(yù)期內(nèi)。

  此外，我們還通過(guò)改變模型中的一些參數(shù)來(lái)探究成本與公平的博弈。表1展示了這一結(jié)果：增加車輛的旅行時(shí)間、降低車輛訪問(wèn)需求點(diǎn)的服務(wù)時(shí)間以及增大車輛的容量都可以降低改善公平性所需要投入的成本。前兩種措施的本質(zhì)是使得車輛相較于之前可以訪問(wèn)更多的需求點(diǎn)從而減少車輛的使用，降低了發(fā)車費(fèi)用；此外，同一輛車訪問(wèn)更多的需求點(diǎn)也有利于同一車輛上的物資通過(guò)轉(zhuǎn)移的方式提升公平性。增加車輛容量的本質(zhì)是增大了供給，因此會(huì)降低需求點(diǎn)的剝奪成本；此外容量的提升也有助于需求點(diǎn)之間應(yīng)急物資通過(guò)轉(zhuǎn)移來(lái)改善公平性。

表1 不同公平偏差下成本的投入

3  結(jié)  論

本研究考慮兼顧社會(huì)成本與公平性的應(yīng)急物資分配和路由調(diào)度。首先,為強(qiáng)調(diào)人道主義救援公平性原則，引入了福利經(jīng)濟(jì)學(xué)中的基尼系數(shù)并將其納入約束條件中，以社會(huì)成本最小化為目標(biāo)構(gòu)建了一個(gè)與決策者交互的應(yīng)急物資分配模型并且探究了成本與公平之間的權(quán)衡。然后，以2010年玉樹(shù)地震為案例背景做對(duì)比分析，以展示不同公平水平下成本的投入。最后，通過(guò)實(shí)施敏感性分析來(lái)討論不同旅行時(shí)間、服務(wù)時(shí)間以及車輛容量下公平與成本之間的博弈。

未來(lái)研究可考慮需求不確定的情景下成本與公平的博弈，也可以考慮多品類物資的分配與路由規(guī)劃。此外，考慮將代表公平函數(shù)的基尼系數(shù)納入目標(biāo)函數(shù)中，構(gòu)建單目標(biāo)或者多目標(biāo)規(guī)劃并探究尋優(yōu)方法也是一個(gè)可行的方向。

本文來(lái)源：《物流科技》http://m.00559.cn/w/jg/30901.html