偏微分方程數(shù)值解法對比研究

 社會的進(jìn)步，科技的發(fā)展，越來越多復(fù)雜的計(jì)算問題涌現(xiàn)出來等待人類解決。在計(jì)算機(jī)沒有發(fā)明出來的情況下，為了使得一些比較復(fù)雜的計(jì)算問題能夠得到解決，許多科學(xué)家竭盡一生的精力進(jìn)行研究思考，傾注了大量的心血。因此，數(shù)值方法便以解決復(fù)雜問題為目的應(yīng)運(yùn)而生。而其中至關(guān)重要的一部分便是偏微分方程的數(shù)值解。例如：人們想要得到精準(zhǔn)無誤的數(shù)據(jù)來預(yù)測天氣變化情況，就需要人工計(jì)算。但是，需要求解成千上萬的偏微分方程組。工作量之大，耗時(shí)時(shí)間之長，需要消耗大量的人力腦力。^[1]所以，這樣的方法很不現(xiàn)實(shí)。此時(shí)，偏微分方程的數(shù)值解就顯得非常重要了。而偏微分方程數(shù)值解中最重要的方法便是以下三種：有限差分法、有限元方法、有限體積法。對于任何一種數(shù)學(xué)問題的研究，我們在掌握它各種解決思路的同時(shí)，也應(yīng)該更好的分辨每種解決方法之間細(xì)微的差別，以便對癥下藥，為今后可能遇到的數(shù)學(xué)問題尋找最佳的解決方法。

一、 應(yīng)用范圍和基本思路不同

一個(gè)問題的多種解決方法的本質(zhì)區(qū)別便在于求解思想的差別，由于每種解決方法的求解思想不同，一些方法的基本思路由于更利于大眾接受而被廣泛利用，當(dāng)然不能排除一些因素，例如解決方法的適用范圍，另外，解題人的個(gè)人偏愛和解題方法操作的難易程度也會對偏微分方程數(shù)值解法的選擇產(chǎn)生影響。

（一）有限差分法基本思路

應(yīng)用于計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬最早，可以說是有限差分法。一直到今天，該方法仍然被廣泛運(yùn)用。同其他的方法相比較，有限差分方法無疑是最年長，同時(shí)也是應(yīng)用范圍最廣，也就是最有閱歷的。這種方法首先要將需要求解的領(lǐng)域進(jìn)行分割，劃分為不同的網(wǎng)格。利用有限的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)來代替需要持續(xù)計(jì)算求解的領(lǐng)域。通過開展不同的方法，將網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的不同數(shù)值間的差商來替代方程中的數(shù)值，進(jìn)行縮小。達(dá)到需求數(shù)值組建代數(shù)方程組的目的。運(yùn)用包含可以計(jì)數(shù)的在差分方程中的未知量，逐步接近并且漸漸產(chǎn)生可以代替的數(shù)值的微分方程和定解條件。同時(shí)，我們在差分方程求得的結(jié)果，就可以作為所需求的近似解。接著，把以前方程中出現(xiàn)的微分和在邊界條件中出現(xiàn)的微分，使用差分來尋求近似。近似值同時(shí)也可以運(yùn)用到機(jī)械求積公式中進(jìn)一步使得其逐步的運(yùn)用不同的條件轉(zhuǎn)化成為差分方程組。在有限差分法中，最簡便就是把微分問題變成代數(shù)問題，進(jìn)一步求得近似值。這樣得到的數(shù)據(jù)簡潔直觀，同時(shí)精準(zhǔn)度更高。可以說，是一種發(fā)展較早同時(shí)比較成熟的一種數(shù)值方法。

（二）有限元方法基本思路

有限元方法的基本理論主要是變分原理和加權(quán)余量法。它主要是將所需計(jì)算的領(lǐng)域通過劃分，變成可以計(jì)數(shù)的并不重復(fù)的單元。在不同的單元內(nèi)，需求適合的節(jié)點(diǎn)作為插值點(diǎn)，最終得到一系列的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)方式。以主要理論為基礎(chǔ)，將微分方程分散求解。在選取了不同的數(shù)值以后，會形成不同有限元方法。通過利用得到線性組合不斷接近方程的精確值，那么所有計(jì)算域內(nèi)的解就能夠看成是由所有單元上的近似解組成的。^[2]使用有限元法解題過程中，可以把求解域人為的分成許多的有限元的的小的相互接近的子域組成。接著，假設(shè)一個(gè)比較簡單的近似值，針對所劃分的所有小單元，逐步的演算出這個(gè)領(lǐng)域需要的條件，進(jìn)而得到我們需要的答案。但是，求得的結(jié)果并不是精確值，而是近似的?？偟膩碚f，有限元法在計(jì)算精度上算是很高的，并且可以應(yīng)對各種不同復(fù)雜的形狀，是使用最多也是最有效的方法。最早的時(shí)候，這種方法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)領(lǐng)域。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的持續(xù)發(fā)展，逐漸的可以應(yīng)用于流體力學(xué)領(lǐng)域。相信隨著科技的不斷發(fā)展，將衍生出更多更便捷的方法來進(jìn)行計(jì)算，解決科學(xué)以及工程中的問題。

（三）有限體積法基本思路

有限體積法的另外一個(gè)名字是控制體積法。它主要是將所需要計(jì)算的區(qū)域分割成為一系列的不重疊的可控制的體積。同時(shí)，將不同的網(wǎng)格點(diǎn)的四周都得到一個(gè)控制體積；接著將需要解決的方程進(jìn)行一定方法的計(jì)算，得到一組離散方程。假如需要求出控制體積的積分，則需要設(shè)定假設(shè)值。將其插入到網(wǎng)格點(diǎn)間的分布剖面上。因此，可以得到有限體積法的基本方法就是子區(qū)域法。這種方法非常利于理解和認(rèn)識，同時(shí)可以直接應(yīng)用于實(shí)際。它最大的優(yōu)點(diǎn)就是可以達(dá)到令人滿足的守恒，就像是守恒原理。同有限差分法就離散方法相較來說，有限體積法即使在粗網(wǎng)格的狀況下，依然能夠展示出精確的積分守恒，而有限差分法只能在網(wǎng)格特別細(xì)密時(shí)，離散方程才有條件符合積分守恒。^[3]在實(shí)際的生活中，不同的工程由于具體的情況會產(chǎn)生各種復(fù)雜的狀況或者難于解決的問題。而使用有限體積法，面對許多的復(fù)雜的問題，就能夠得到更好的解決方式。同時(shí)，也可以更好的適應(yīng)網(wǎng)格。在進(jìn)行不同的分析時(shí)，與其他的方法可以進(jìn)行完美的融合，比如：有限元法。

二、 解題步驟方面的不同

同樣的問題會產(chǎn)生不同的解決方法，在具體的解決過程中會產(chǎn)生不同的解題思路。由于每種解決方法的求解步驟不同，因此所利用的原理亦不相同，產(chǎn)生的優(yōu)缺點(diǎn)也各不相同，因此適用的范圍也將不同。以下，將從不同解法出發(fā)，進(jìn)行詳細(xì)的闡釋，讓大家對偏微分方程數(shù)值解的不同方法有更為清晰、明確的認(rèn)識。

（一）有限差分法解題步驟

在數(shù)學(xué)模型形成一定的系統(tǒng)之后，主要就是運(yùn)用此種方法求解。主要的步驟中具體分為以下幾步：第一，區(qū)域離散。將在偏微分方程中得到的區(qū)域，通過方法分成含有可以計(jì)數(shù)的格點(diǎn)的網(wǎng)格，即叫做網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)。第二，近似代替。運(yùn)用所學(xué)的有限差分公式成為導(dǎo)數(shù)，能夠代替其中的任何一個(gè)格點(diǎn)。第三，逼近求解。用另外的一句話說，在求解的過程都可以認(rèn)為是使用一個(gè)插值多項(xiàng)式及其微分來代替其求解的過程。在一定意義上，以上方法可以在一定程度上達(dá)到使人滿意的計(jì)算精度。在不斷的求解過程中，方程中的數(shù)值解將不斷減小變量間格，或是求得近似的數(shù)值，使用離散點(diǎn)上的函數(shù)值。按照一定的理論，要想求得更加精確的數(shù)值，那么網(wǎng)格步長就要逐漸的接近零。但是，人為或者機(jī)器計(jì)算是存在偏差的，所以說沒有必要說一定取得特別小。它的收斂性這個(gè)時(shí)候顯得尤為重要。例如：在二階偏微分方程中，都可以進(jìn)行相似的使用。在二階偏微分方程的一般形式中，包括某有特征的物理量也就是常說的連續(xù)函數(shù)。在A、B、C為具體數(shù)值時(shí)，會出現(xiàn)三個(gè)方程形式。分別是：橢圓形方程，拋物型方程，以及雙曲型方程。不同的方程形式會解決存在中的不同問題，同時(shí)還需要給出定界的三個(gè)不同條件。

（二）有限元法解題步驟

偏微分方程中的有限元法在求解過程中，可以比較隨意的配置離散點(diǎn)，選取合適的數(shù)值和單元剖分密度，從而達(dá)到要求中的計(jì)算精確程度。具體的運(yùn)用步驟如下:第一，剖分。首先把需要的區(qū)域進(jìn)行分裂，分割成為可以計(jì)數(shù)的要素集合。每一個(gè)小的單元，原則上形狀是可以隨意的。這樣可以使得計(jì)算更加簡便，結(jié)果更加的準(zhǔn)確。一般情況下，二維問題通常使用的形狀為三角形或者是矩形；三維空間則使用的是多面體等。第二，單元分析。在分割的不同區(qū)域中，插入我們研究所得的數(shù)值，也就是說把任意單元中的任意點(diǎn)進(jìn)行展開計(jì)算，從而建立一個(gè)線性的插值函數(shù)。第三，求解近似變分方程。把可以計(jì)數(shù)的單元將連續(xù)體的數(shù)值進(jìn)行相應(yīng)的縮小，提高計(jì)算的時(shí)空效率，同時(shí)分區(qū)域插值解決各種需要的問題。桿系結(jié)構(gòu)的形狀是一個(gè)桿件，而連續(xù)體的形狀可以是三角形，四邊形或者是六面體等等。^[4]不同的單元中，包含著可以計(jì)數(shù)的一些比較簡單的函數(shù)。這些簡單的函數(shù)集合是整個(gè)連續(xù)體函數(shù)的元素集合。接著，通過精確的計(jì)算，就都可以得到所需求的數(shù)值。現(xiàn)在，有限元法已經(jīng)應(yīng)用于各種大型或是專用程序。隨著時(shí)間的推移，有限元法也不斷的衍生出更多的解法，以便于解決更多的問題。

（三）有限體積法解題步驟

有限體積法易于人們理解和使用，并且可以得到合理的解釋。它的最大的意義在于，使用有限體積法得到的離散方程，完美的體現(xiàn)了守恒性。就像在微分方程中因?yàn)椴粩嘧兓牧慷a(chǎn)生的不斷變小的體積的原理守恒是同樣的道理。同時(shí)，假設(shè)可以具有更加靈活性，解決了泰勒由于離散產(chǎn)生的一些缺點(diǎn)。其具體的步驟如下：第一，在計(jì)算過程當(dāng)中，將需要計(jì)算的區(qū)域分割成為一連串的具有不重復(fù)的控制體積。使得各個(gè)得以控制的體積都可以有一個(gè)作為代表的節(jié)點(diǎn)，把需要求出的方程在隨意的控制體積內(nèi)或是具體的時(shí)間間隔內(nèi)作積分。第二，提出不同的假設(shè)。面對需要求解的函數(shù)或者是導(dǎo)數(shù)，通過對它們的時(shí)間或者是空間的變化線做出可能的需要假設(shè)。進(jìn)一步提高計(jì)算的精準(zhǔn)度，達(dá)到所需要的數(shù)值，使得工程能夠得到更好的解決。第三，整理。對于以上步驟當(dāng)中出現(xiàn)的一系列的的線型，劃分類別作出不同的整理?？偨Y(jié)出，節(jié)點(diǎn)上的不可知量的離散方程的形式。這樣得到的數(shù)值，最大限度的滿足了守恒，數(shù)值更加的精確，整個(gè)計(jì)算推導(dǎo)過程更加的清晰。

 

本文來源：《企業(yè)科技與發(fā)展》：http://m.00559.cn/w/qk/21223.html